Calculatrice de Combinaisons et Permutations
Cette calculatrice détermine de combien de façons vous pouvez sélectionner ou ordonner des éléments d'un ensemble. Saisissez le nombre total d'éléments (n) et combien vous voulez en choisir (r), et elle renvoie instantanément le nombre de combinaisons (nCr), le nombre de permutations (nPr) et la factorielle de n (n!). Les combinaisons répondent à « combien de groupes puis-je former ? » quand l'ordre n'a pas d'importance — comme choisir 6 numéros de loterie parmi 49. Les permutations répondent à « combien d'arrangements ordonnés existe-t-il ? » quand l'ordre compte — comme les podiums possibles d'une course. Les résultats se mettent à jour au fur et à mesure de la frappe.
Combinaisons (nCr)
Permutations (nPr)
Factorielle de n (n!)
Les combinaisons comptent des groupes sans tenir compte de l'ordre ; les permutations distinguent l'ordre. Pour n supérieur à 170, la factorielle dépasse la plage numérique et s'affiche comme infini.
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Comment ça fonctionne
Le nombre de combinaisons de r éléments parmi n est nCr = n! / (r!·(n−r)!) : on divise par r! précisément parce que réordonner les éléments choisis ne crée pas de nouveau groupe. Le nombre de permutations est nPr = n! / (n−r)! : l'ordre compte, donc chaque arrangement distinct est compté séparément, et c'est pourquoi nPr est toujours au moins aussi grand que nCr (ils sont liés par nPr = nCr·r!). Les deux reposent sur la factorielle, n! = n·(n−1)·(n−2)·…·2·1, le nombre de façons d'ordonner n éléments distincts en ligne, avec 0! défini comme 1. Cet outil calcule nCr et nPr avec une boucle multiplicative qui évite le débordement sur les énormes factorielles intermédiaires, il reste donc précis pour un grand n même lorsque n! est trop grand pour être affiché.
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Preguntas frecuentes
- Quelle est la différence entre une combinaison et une permutation ?
- Une combinaison est une sélection où l'ordre n'a pas d'importance, tandis qu'une permutation est un arrangement où l'ordre compte. Choisir 3 fruits parmi 5 pour les mettre dans un bol est une combinaison ; décider lequel va en premier, deuxième et troisième est une permutation. Pour les mêmes n et r, il y a toujours au moins autant de permutations que de combinaisons, car chaque combinaison peut être réordonnée de r! façons.
- Comment calcule-t-on nCr ?
- On utilise la formule nCr = n! / (r!·(n−r)!). Par exemple, choisir 2 parmi 4 donne 4! / (2!·2!) = 24 / (2·2) = 6. En pratique, cette calculatrice utilise une boucle multiplicative plutôt que de calculer les factorielles complètes, elle reste donc précise et rapide même pour de grandes valeurs de n.
- Comment calcule-t-on nPr ?
- On utilise la formule nPr = n! / (n−r)!, qui équivaut à n·(n−1)·…·(n−r+1). Par exemple, arranger 2 parmi 4 donne 4! / 2! = 24 / 2 = 12. On peut aussi l'obtenir à partir des combinaisons : nPr = nCr·r!.
- Qu'est-ce qu'une factorielle ?
- La factorielle d'un nombre entier n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n : n! = n·(n−1)·…·2·1. Ainsi, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Par convention 0! = 1. Les factorielles croissent très vite, c'est pourquoi cette calculatrice affiche n! comme infini dès que n dépasse 170 — au-delà, la valeur est trop grande pour les nombres standard.
- Que se passe-t-il si r est supérieur à n ?
- Si r est supérieur à n, il n'y a aucune sélection ni aucun arrangement valide, donc nCr et nPr valent tous deux 0 — on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe. La calculatrice traite aussi les valeurs négatives de r comme 0. Quand r vaut 0, il y a exactement une combinaison (la sélection vide) et une permutation.