Logarithmus-Rechner
Dieser Logarithmus-Rechner ermittelt den Logarithmus jeder positiven Zahl x zur von Ihnen gewählten Basis und zeigt zugleich die beiden gebräuchlichsten Sonderfälle: den natürlichen Logarithmus (ln, Basis e ≈ 2,71828) und den dekadischen oder gewöhnlichen Logarithmus (log₁₀). Sie geben nur Zahl und Basis ein — das Ergebnis wird sofort aktualisiert, praktisch für Algebra, Analysis, Chemie (pH), Akustik (Dezibel), Informationstheorie und jede Situation, in der Sie einen Exponenten rückgängig machen müssen.
Logarithmus log_b(x)
Natürlicher Logarithmus (ln)
Dekadischer Logarithmus (log₁₀)
Logarithmus log_b(x)
Die Ergebnisse werden auf 6 Dezimalstellen gerundet. log_b(x) = ln(x)/ln(b).
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So funktioniert es
Der Logarithmus log_b(x) beantwortet die Frage: Mit welcher Potenz muss die Basis b potenziert werden, um x zu erhalten? Zum Beispiel log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. Die meisten Rechner bieten nur zwei Logarithmen — den natürlichen Logarithmus ln(x) zur Basis e und den dekadischen Logarithmus log₁₀(x) zur Basis 10 —, daher wird jede andere Basis mit der Basiswechsel-Formel log_b(x) = ln(x) / ln(b) berechnet (ebenso können Sie log₁₀ statt ln verwenden). Der Logarithmus ist nur für x > 0 definiert, und die Basis muss positiv und von 1 verschieden sein, da eine Basis von 1 für jeden Exponenten denselben Wert ergäbe.
Tabelle gebräuchlicher Logarithmen
Diese Werte sollte man auswendig kennen, denn sie sind der Anker, um jeden anderen Logarithmus abzuschätzen. In jeder Zeile ist das Ergebnis der Exponent, mit dem die Basis potenziert werden muss, um die Zahl zu erhalten:
| Logarithmus | Ergebnis | Weil |
|---|---|---|
| log₁₀(1) | 0 | 10⁰ = 1 |
| log₁₀(10) | 1 | 10¹ = 10 |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
| log₁₀(1000) | 3 | 10³ = 1000 |
| ln(e) | 1 | e¹ = e |
| log₂(2) | 1 | 2¹ = 2 |
| log₂(8) | 3 | 2³ = 8 |
| log₂(1024) | 10 | 2¹⁰ = 1024 |
Logarithmusgesetze und Basiswechsel
Logarithmen verwandeln Produkte in Summen, was viele Berechnungen vereinfacht. Die drei wichtigsten Regeln sind: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b und log(aⁿ) = n·log a. Zum Beispiel log₁₀(100) = log₁₀(10·10) = log₁₀ 10 + log₁₀ 10 = 1 + 1 = 2. Und für jede Basis, die Ihr Rechner nicht bietet, verwenden Sie den Basiswechsel log_b(x) = ln(x) / ln(b); so ist log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928.
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Preguntas frecuentes
- Was ist ein Logarithmus?
- Ein Logarithmus ist die Umkehrung eines Exponenten. Der Logarithmus log_b(x) ist die Potenz, mit der die Basis b potenziert werden muss, um x zu erhalten. Zum Beispiel log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000, und log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. Kurz gesagt: Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition und machen das Potenzieren rückgängig.
- Was ist der natürliche Logarithmus (ln)?
- Der natürliche Logarithmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e, wobei e ≈ 2,71828 die eulersche Zahl ist. Er kommt in der gesamten Analysis vor, bei exponentiellem Wachstum und Zerfall, bei Zinseszins und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, weil die Funktion eˣ ihre eigene Ableitung ist. Zum Beispiel ln(e) = 1 und ln(1) = 0.
- Was ist der dekadische Logarithmus (log₁₀)?
- Der dekadische oder gewöhnliche Logarithmus log₁₀(x) verwendet die Basis 10. Er ist praktisch, weil unser Zahlensystem auf 10 beruht: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(1000) = 3. Er wird in Wissenschaft und Technik viel genutzt, etwa bei der pH-Skala, der Richterskala und Dezibel.
- Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis?
- Verwenden Sie die Basiswechsel-Formel: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Sie können ln durch log₁₀ ersetzen, das Ergebnis ist dasselbe, da log_b(x) = log₁₀(x) / log₁₀(b). Zum Beispiel log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928. Dieser Rechner wendet genau diese Formel an.
- Warum muss x positiv und die Basis von 1 verschieden sein?
- Der Logarithmus ist nur für x > 0 definiert, denn eine positive Basis ergibt für jede reelle Potenz stets eine positive Zahl, also gibt es keinen Exponenten, der null oder eine negative Zahl liefert. Die Basis muss ebenfalls positiv sein und darf nicht 1 sein, weil 1 hoch jede Potenz immer 1 ergibt, was den Logarithmus undefiniert ließe.