Calculadora de Números Primos y Factorización
Esta calculadora hace dos cosas a la vez: te dice si un número entero es primo y lo descompone en sus factores primos, actualizándose mientras escribís. Un número primo es un número entero mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo — como 2, 3, 5, 7 y 11. Todo número que no es primo (un número compuesto) puede escribirse como un producto único de factores primos, que es la base de gran parte de la teoría de números y de los algoritmos que se usan en criptografía.
¿Es primo?
Factores primos
Un número primo solo es divisible por 1 y por sí mismo. La descomposición muestra los factores primos multiplicados.
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¿Cómo funciona?
Para comprobar si un número n es primo, la calculadora resuelve los casos chicos (los números menores que 2 nunca son primos, y 2 y 3 sí lo son) y luego prueba dividir n por cada número impar desde 3 hasta la raíz cuadrada de n. Si alguno divide a n exactamente, n es compuesto; si ninguno lo hace, n es primo. Alcanza con probar hasta la raíz cuadrada porque si n tuviera un divisor mayor que su raíz, también tendría uno menor asociado. Para la factorización, la calculadora va sacando el factor más chico posible de forma repetida: divide por 2 mientras pueda, luego por 3, luego por 5, y así, juntando cada factor hasta que no queda nada. Para 60 eso da 2 × 2 × 3 × 5, y para un primo como 97 el único factor es el propio 97.
Los números primos hasta 100
Entre 1 y 100 hay exactamente 25 números primos. El 2 es el único primo par: cualquier otro número par se divide por 2, así que a partir de ahí todos los primos son impares (aunque no todo impar es primo, como 9 = 3 × 3 o 15 = 3 × 5). Una forma clásica de encontrarlos es la criba de Eratóstenes: se escriben los números del 2 en adelante y se van tachando los múltiplos de cada primo (los de 2, luego los de 3, los de 5…); lo que queda sin tachar son los primos. Esta es la lista completa hasta 100.
| Rango | Números primos |
|---|---|
| 1 – 50 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51 – 100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Cómo comprobar si un número es primo a mano
Para saber si un número n es primo alcanza con probar si lo divide algún número desde 2 hasta la raíz cuadrada de n. Si ninguno lo divide de forma exacta, n es primo. Por ejemplo, para 97 la raíz cuadrada es aproximadamente 9,85, así que basta probar 2, 3, 5 y 7: como ninguno lo divide, 97 es primo. En cambio 91 parece primo a simple vista, pero 91 = 7 × 13, con lo que es compuesto. Probar solo hasta la raíz cuadrada funciona porque, si n tuviera un divisor mayor que su raíz, el cociente sería un divisor menor que ya habríamos encontrado antes.
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Preguntas frecuentes
- ¿Qué es un número primo?
- Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. El 2 es el único primo par, porque todo otro número par es divisible por 2.
- ¿El 1 es un número primo?
- No. Por definición un primo debe tener exactamente dos divisores distintos, y el 1 tiene solo un divisor (él mismo). Por la misma razón el 0 y los números negativos no son primos. El número primo más chico es el 2.
- ¿Qué es la factorización en primos?
- La factorización en primos es escribir un número como producto de números primos. Por ejemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5. El teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo número entero mayor que 1 tiene exactamente una factorización de ese tipo, salvo el orden de los factores.
- ¿Cómo comprueba la calculadora si un número es primo?
- Descarta los números menores que 2 y los pares mayores que 2, y luego prueba dividir por cada número impar hasta la raíz cuadrada de la entrada. Si ninguno divide exactamente, el número es primo. Detenerse en la raíz cuadrada hace que la prueba sea rápida incluso para números grandes.
- ¿Por qué es importante la factorización en primos?
- La factorización en primos es la base para simplificar fracciones, hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, y para la criptografía de clave pública como RSA, cuya seguridad depende de lo difícil que es factorizar números muy grandes de vuelta en sus primos.