Calcolatore di Numeri Primi e Fattorizzazione
Questo calcolatore fa due cose insieme: ti dice se un numero intero è primo e lo scompone nei suoi fattori primi, aggiornandosi mentre digiti. Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 i cui unici divisori sono 1 e se stesso — come 2, 3, 5, 7 e 11. Ogni numero che non è primo (un numero composto) può essere scritto come un prodotto unico di fattori primi, che è la base di gran parte della teoria dei numeri e degli algoritmi usati in crittografia.
È primo?
Fattori primi
Un numero primo è divisibile solo per 1 e per se stesso. La scomposizione mostra i fattori primi moltiplicati tra loro.
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Come funziona
Per verificare se un numero n è primo, il calcolatore risolve i casi piccoli (i numeri minori di 2 non sono mai primi, 2 e 3 lo sono) e poi prova a dividere n per ogni numero dispari da 3 fino alla radice quadrata di n. Se uno di essi divide n esattamente, n è composto; se nessuno lo fa, n è primo. Basta provare fino alla radice quadrata perché, se n avesse un divisore maggiore della sua radice, ne avrebbe anche uno minore associato. Per la fattorizzazione, il calcolatore estrae ripetutamente il più piccolo fattore possibile: divide per 2 finché può, poi per 3, poi per 5 e così via, raccogliendo ogni fattore finché non resta nulla. Per 60 questo dà 2 × 2 × 3 × 5, e per un primo come 97 l'unico fattore è 97 stesso.
I numeri primi fino a 100
Tra 1 e 100 ci sono esattamente 25 numeri primi. Il 2 è l'unico primo pari: ogni altro numero pari è divisibile per 2, quindi da lì in poi tutti i primi sono dispari (anche se non ogni dispari è primo, come 9 = 3 × 3 o 15 = 3 × 5). Un modo classico per trovarli è il crivello di Eratostene: si scrivono i numeri da 2 in poi e si cancellano i multipli di ogni primo (quelli di 2, poi di 3, di 5…); ciò che resta non cancellato è primo. Questa è la lista completa fino a 100.
| Intervallo | Numeri primi |
|---|---|
| 1 – 50 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51 – 100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Come verificare a mano se un numero è primo
Per sapere se un numero n è primo basta verificare se qualche numero da 2 fino alla radice quadrata di n lo divide. Se nessuno lo divide esattamente, n è primo. Ad esempio, la radice quadrata di 97 è circa 9,85, quindi basta provare 2, 3, 5 e 7: poiché nessuno lo divide, 97 è primo. Invece 91 sembra primo a prima vista, ma 91 = 7 × 13, quindi è composto. Provare solo fino alla radice quadrata funziona perché, se n avesse un divisore maggiore della sua radice, il quoziente sarebbe un divisore minore che avremmo già trovato prima.
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Preguntas frecuentes
- Che cos'è un numero primo?
- Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che ha esattamente due divisori: 1 e se stesso. I primi numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17. Il 2 è l'unico primo pari, perché ogni altro numero pari è divisibile per 2.
- Il numero 1 è un numero primo?
- No. Per definizione un primo deve avere esattamente due divisori distinti, e 1 ha solo un divisore (se stesso). Per la stessa ragione 0 e i numeri negativi non sono primi. Il più piccolo numero primo è il 2.
- Che cos'è la fattorizzazione in primi?
- La fattorizzazione in primi è scrivere un numero come prodotto di numeri primi. Ad esempio, 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che ogni numero intero maggiore di 1 ha esattamente una fattorizzazione di questo tipo, a meno dell'ordine dei fattori.
- Come verifica la calcolatrice se un numero è primo?
- Scarta i numeri minori di 2 e i pari maggiori di 2, poi prova a dividere per ogni numero dispari fino alla radice quadrata dell'input. Se nessuno divide esattamente, il numero è primo. Fermarsi alla radice quadrata rende il test veloce anche per numeri grandi.
- Perché la fattorizzazione in primi è importante?
- La fattorizzazione in primi è la base per semplificare le frazioni, trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, e per la crittografia a chiave pubblica come RSA, la cui sicurezza dipende da quanto è difficile fattorizzare numeri molto grandi nei loro primi.