Calculadora de Números Primos e Fatoração
Esta calculadora faz duas coisas ao mesmo tempo: diz se um número inteiro é primo e o decompõe em seus fatores primos, atualizando-se enquanto você digita. Um número primo é um número inteiro maior que 1 cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo — como 2, 3, 5, 7 e 11. Todo número que não é primo (um número composto) pode ser escrito como um produto único de fatores primos, o que é a base de grande parte da teoria dos números e dos algoritmos usados em criptografia.
É primo?
Fatores primos
Um número primo só é divisível por 1 e por ele mesmo. A decomposição mostra os fatores primos multiplicados.
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Como funciona
Para verificar se um número n é primo, a calculadora resolve os casos pequenos (números menores que 2 nunca são primos, e 2 e 3 são primos) e depois tenta dividir n por cada número ímpar de 3 até a raiz quadrada de n. Se algum divide n exatamente, n é composto; se nenhum divide, n é primo. Basta testar até a raiz quadrada porque, se n tivesse um divisor maior que sua raiz, também teria um menor associado. Para a fatoração, a calculadora vai retirando o menor fator possível repetidamente: divide por 2 enquanto puder, depois por 3, depois por 5, e assim por diante, juntando cada fator até não sobrar nada. Para 60 isso dá 2 × 2 × 3 × 5, e para um primo como 97 o único fator é o próprio 97.
Os números primos até 100
Entre 1 e 100 há exatamente 25 números primos. O 2 é o único primo par: qualquer outro número par é divisível por 2, então a partir daí todos os primos são ímpares (embora nem todo ímpar seja primo, como 9 = 3 × 3 ou 15 = 3 × 5). Uma forma clássica de encontrá-los é o crivo de Eratóstenes: escrevem-se os números do 2 em diante e vão-se riscando os múltiplos de cada primo (os de 2, depois os de 3, os de 5…); o que sobra sem riscar são os primos. Esta é a lista completa até 100.
| Intervalo | Números primos |
|---|---|
| 1 – 50 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51 – 100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Como verificar se um número é primo à mão
Para saber se um número n é primo basta testar se algum número de 2 até a raiz quadrada de n o divide. Se nenhum o divide de forma exata, n é primo. Por exemplo, a raiz quadrada de 97 é aproximadamente 9,85, então basta testar 2, 3, 5 e 7: como nenhum o divide, 97 é primo. Já 91 parece primo à primeira vista, mas 91 = 7 × 13, portanto é composto. Testar apenas até a raiz quadrada funciona porque, se n tivesse um divisor maior que sua raiz, o quociente seria um divisor menor que já teríamos encontrado antes.
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Preguntas frecuentes
- O que é um número primo?
- Um número primo é um número inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17. O 2 é o único primo par, porque todo outro número par é divisível por 2.
- O 1 é um número primo?
- Não. Por definição um primo deve ter exatamente dois divisores distintos, e o 1 tem apenas um divisor (ele mesmo). Pela mesma razão o 0 e os números negativos não são primos. O menor número primo é o 2.
- O que é a fatoração em primos?
- A fatoração em primos é escrever um número como produto de números primos. Por exemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5. O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro maior que 1 tem exatamente uma fatoração desse tipo, a menos da ordem dos fatores.
- Como a calculadora verifica se um número é primo?
- Ela descarta os números menores que 2 e os pares maiores que 2, e depois tenta dividir por cada número ímpar até a raiz quadrada da entrada. Se nenhum divide exatamente, o número é primo. Parar na raiz quadrada torna o teste rápido mesmo para números grandes.
- Por que a fatoração em primos é importante?
- A fatoração em primos é a base para simplificar frações, achar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum, e para a criptografia de chave pública como o RSA, cuja segurança depende de quão difícil é fatorar números muito grandes de volta em seus primos.