Rechner für Kombinationen und Permutationen
Dieser Rechner ermittelt, auf wie viele Arten Sie Elemente aus einer Menge auswählen oder anordnen können. Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente (n) und die Anzahl der zu wählenden (r) ein, und er liefert sofort die Anzahl der Kombinationen (nCr), die Anzahl der Permutationen (nPr) und die Fakultät von n (n!). Kombinationen beantworten „wie viele Gruppen kann ich bilden?", wenn die Reihenfolge egal ist — etwa 6 Lottozahlen aus 49 zu wählen. Permutationen beantworten „wie viele geordnete Anordnungen gibt es?", wenn die Reihenfolge zählt — etwa die möglichen Podestplätze eines Rennens. Die Ergebnisse aktualisieren sich beim Tippen.
Kombinationen (nCr)
Permutationen (nPr)
Fakultät von n (n!)
Kombinationen zählen Gruppen ohne Rücksicht auf die Reihenfolge; Permutationen unterscheiden die Reihenfolge. Bei n größer als 170 überschreitet die Fakultät den Zahlenbereich und wird als Unendlich angezeigt.
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So funktioniert es
Die Anzahl der Kombinationen von r Elementen aus n ist nCr = n! / (r!·(n−r)!): Man teilt durch r! gerade deshalb, weil das Umordnen der gewählten Elemente keine neue Gruppe erzeugt. Die Anzahl der Permutationen ist nPr = n! / (n−r)!: Die Reihenfolge zählt, jede unterschiedliche Anordnung wird also einzeln gezählt, weshalb nPr stets mindestens so groß wie nCr ist (sie hängen über nPr = nCr·r! zusammen). Beide bauen auf der Fakultät auf, n! = n·(n−1)·(n−2)·…·2·1, der Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Elemente in einer Reihe anzuordnen, wobei 0! als 1 definiert ist. Dieses Werkzeug berechnet nCr und nPr mit einer multiplikativen Schleife, die einen Überlauf bei den riesigen Zwischenfakultäten vermeidet, und bleibt so auch für große n genau, selbst wenn n! selbst zu groß zum Anzeigen ist.
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Preguntas frecuentes
- Was ist der Unterschied zwischen einer Kombination und einer Permutation?
- Eine Kombination ist eine Auswahl, bei der die Reihenfolge egal ist, während eine Permutation eine Anordnung ist, bei der die Reihenfolge zählt. 3 von 5 Früchten für eine Schale auszuwählen, ist eine Kombination; zu entscheiden, welche zuerst, zweite und dritte kommt, ist eine Permutation. Für dieselben n und r gibt es immer mindestens so viele Permutationen wie Kombinationen, da jede Kombination auf r! Arten umgeordnet werden kann.
- Wie berechnet man nCr?
- Man verwendet die Formel nCr = n! / (r!·(n−r)!). Zum Beispiel ergibt die Auswahl von 2 aus 4: 4! / (2!·2!) = 24 / (2·2) = 6. In der Praxis nutzt dieser Rechner eine multiplikative Schleife, statt die vollständigen Fakultäten zu berechnen, und bleibt so auch bei großen Werten von n genau und schnell.
- Wie berechnet man nPr?
- Man verwendet die Formel nPr = n! / (n−r)!, was n·(n−1)·…·(n−r+1) entspricht. Zum Beispiel ergibt die Anordnung von 2 aus 4: 4! / 2! = 24 / 2 = 12. Man erhält sie auch aus den Kombinationen: nPr = nCr·r!.
- Was ist eine Fakultät?
- Die Fakultät einer ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n: n! = n·(n−1)·…·2·1. So ist 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Per Konvention gilt 0! = 1. Fakultäten wachsen extrem schnell, deshalb zeigt dieser Rechner n! als unendlich an, sobald n größer als 170 ist — darüber hinaus ist der Wert für Standardzahlen zu groß.
- Was passiert, wenn r größer als n ist?
- Ist r größer als n, gibt es keine gültigen Auswahlen oder Anordnungen, also sind sowohl nCr als auch nPr gleich 0 — man kann nicht mehr Elemente wählen, als vorhanden sind. Der Rechner behandelt auch negative Werte von r als 0. Wenn r gleich 0 ist, gibt es genau eine Kombination (die leere Auswahl) und eine Permutation.