Calcolatrice di Logaritmo
Questa calcolatrice di logaritmo ottiene il logaritmo di qualsiasi numero positivo x nella base che scegli e, allo stesso tempo, mostra i due casi particolari più usati: il logaritmo naturale (ln, base e ≈ 2,71828) e il logaritmo decimale o comune (log₁₀). Basta inserire il numero e la base — il risultato si aggiorna all'istante, quindi è utile per algebra, analisi, chimica (pH), acustica (decibel), teoria dell'informazione e qualsiasi situazione in cui devi annullare un esponente.
Logaritmo log_b(x)
Logaritmo naturale (ln)
Logaritmo decimale (log₁₀)
Logaritmo log_b(x)
I risultati sono arrotondati a 6 decimali. log_b(x) = ln(x)/ln(b).
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Come funziona
Il logaritmo log_b(x) risponde alla domanda: a quale potenza bisogna elevare la base b per ottenere x? Ad esempio log₂(8) = 3 perché 2³ = 8. La maggior parte delle calcolatrici offre solo due logaritmi — il logaritmo naturale ln(x) in base e e il logaritmo decimale log₁₀(x) in base 10 —, quindi qualsiasi altra base si calcola con la formula del cambio di base log_b(x) = ln(x) / ln(b) (puoi anche usare log₁₀ al posto di ln allo stesso modo). Il logaritmo è definito solo per x > 0, e la base deve essere positiva e diversa da 1, poiché una base 1 darebbe lo stesso valore per qualsiasi esponente.
Tabella dei logaritmi comuni
Vale la pena riconoscere questi valori a memoria, perché sono il riferimento per stimare qualsiasi altro logaritmo. In ogni riga, il risultato è l'esponente a cui bisogna elevare la base per ottenere il numero:
| Logaritmo | Risultato | Perché |
|---|---|---|
| log₁₀(1) | 0 | 10⁰ = 1 |
| log₁₀(10) | 1 | 10¹ = 10 |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
| log₁₀(1000) | 3 | 10³ = 1000 |
| ln(e) | 1 | e¹ = e |
| log₂(2) | 1 | 2¹ = 2 |
| log₂(8) | 3 | 2³ = 8 |
| log₂(1024) | 10 | 2¹⁰ = 1024 |
Proprietà del logaritmo e cambio di base
I logaritmi trasformano i prodotti in somme, il che semplifica molti calcoli. Le tre regole chiave sono: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b e log(aⁿ) = n·log a. Ad esempio, log₁₀(100) = log₁₀(10·10) = log₁₀ 10 + log₁₀ 10 = 1 + 1 = 2. E per qualsiasi base che la tua calcolatrice non offre, usa il cambio di base log_b(x) = ln(x) / ln(b); così, log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928.
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Preguntas frecuentes
- Che cos'è un logaritmo?
- Un logaritmo è l'inverso di un esponente. Il logaritmo log_b(x) è la potenza a cui bisogna elevare la base b per ottenere x. Ad esempio, log₁₀(1000) = 3 perché 10³ = 1000, e log₂(8) = 3 perché 2³ = 8. In breve, i logaritmi trasformano la moltiplicazione in addizione e annullano l'elevamento a potenza.
- Che cos'è il logaritmo naturale (ln)?
- Il logaritmo naturale ln(x) è il logaritmo in base e, dove e ≈ 2,71828 è il numero di Eulero. Compare in tutta l'analisi, nella crescita e nel decadimento esponenziale, nell'interesse composto e nella probabilità, perché la funzione eˣ è la derivata di se stessa. Ad esempio, ln(e) = 1 e ln(1) = 0.
- Che cos'è il logaritmo decimale (log₁₀)?
- Il logaritmo decimale o comune log₁₀(x) usa la base 10. È comodo perché il nostro sistema numerico è in base 10: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(1000) = 3. È molto usato in scienza e ingegneria, ad esempio nella scala del pH, nella scala Richter e nei decibel.
- Come calcolo un logaritmo in una base qualsiasi?
- Usa la formula del cambio di base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Puoi sostituire ln con log₁₀ e il risultato è lo stesso, poiché log_b(x) = log₁₀(x) / log₁₀(b). Ad esempio, log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928. Questa calcolatrice applica esattamente questa formula.
- Perché x deve essere positivo e la base diversa da 1?
- Il logaritmo è definito solo per x > 0, perché una base positiva elevata a qualsiasi potenza reale dà sempre un numero positivo, quindi non esiste un esponente che produca zero o un numero negativo. Anche la base deve essere positiva e non può essere 1, perché 1 elevato a qualsiasi potenza è sempre 1, il che renderebbe il logaritmo indefinito.