Rechner für Quadratische Gleichungen
Dieser Rechner für quadratische Gleichungen findet die Lösungen jeder Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Geben Sie einfach die drei Koeffizienten a, b und c ein, und der Rechner liefert beide Lösungen, x₁ und x₂, die sich live aktualisieren, während Sie tippen. Er zeigt außerdem die Diskriminante an, die auf einen Blick verrät, ob die Gleichung zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder gar keine reelle Lösung hat. Er ist ideal für Algebra-Hausaufgaben, Physikaufgaben, Technik und jede Situation, in der Sie eine quadratische Gleichung schnell und genau lösen müssen.
x₁
x₂
Diskriminante
Diskriminante
Löst ax² + bx + c = 0. Die Ergebnisse werden auf 4 Dezimalstellen gerundet.
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So funktioniert es
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a ungleich null ist. Die Lösungen ergeben sich aus der Lösungsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, heißt Diskriminante. Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie null, gibt es eine einzige doppelte reelle Lösung; und ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen (die Lösungen sind komplex). Der Rechner berechnet zuerst die Diskriminante und wendet dann den Plus- und Minus-Zweig der Formel an, um x₁ und x₂ zu erhalten. Ist a gleich null, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear (bx + c = 0), und das Werkzeug liefert die einzige Lösung x = −c / b.
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Preguntas frecuentes
- Was ist eine quadratische Gleichung?
- Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Zahlen sind und a ungleich null ist. Die höchste Potenz der Unbekannten ist 2, was sie quadratisch macht. Solche Gleichungen treten in der Geometrie, bei der Bewegung von Projektilen, bei der Optimierung und in vielen anderen Bereichen der Mathematik und Wissenschaft auf.
- Was ist die Lösungsformel?
- Die Lösungsformel liefert die Lösungen von ax² + bx + c = 0 direkt: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Das Zeichen ± bedeutet, dass Sie zwei Werte berechnen, einen mit Plus und einen mit Minus, die die beiden Lösungen x₁ und x₂ ergeben. Diese Formel funktioniert für jede quadratische Gleichung, egal ob sie sich leicht faktorisieren lässt oder nicht.
- Was ist die Diskriminante und warum ist sie wichtig?
- Die Diskriminante ist der Ausdruck b² − 4ac unter der Wurzel in der Lösungsformel. Ihr Vorzeichen verrät die Art der Lösungen, ohne vollständig zu rechnen: Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist sie null, gibt es eine doppelte reelle Lösung, und ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen (die Lösungen sind komplexe Zahlen).
- Kann eine quadratische Gleichung keine reellen Lösungen haben?
- Ja. Wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist, ist die Wurzel einer negativen Zahl kein reeller Wert, sodass die Gleichung keine reellen Lösungen hat. Zum Beispiel hat x² + x + 1 = 0 eine Diskriminante von 1 − 4 = −3 und damit keine reellen, sondern nur komplexe Lösungen. Dieser Rechner meldet diesen Fall ausdrücklich.
- Was passiert, wenn a gleich null ist?
- Ist a null, ist die Gleichung nicht wirklich quadratisch, denn der x²-Term verschwindet und sie wird zur linearen Gleichung bx + c = 0. Diese hat eine einzige Lösung, x = −c / b (sofern b nicht ebenfalls null ist). Dieser Rechner behandelt diesen Fall und liefert die eine Lösung statt zwei.