Calcolatrice di Combinazioni e Permutazioni
Questa calcolatrice determina in quanti modi puoi selezionare o ordinare elementi di un insieme. Inserisci il totale di elementi (n) e quanti vuoi sceglierne (r), e restituisce all'istante il numero di combinazioni (nCr), il numero di permutazioni (nPr) e il fattoriale di n (n!). Le combinazioni rispondono a "quanti gruppi posso formare?" quando l'ordine non conta — come scegliere 6 numeri della lotteria tra 49. Le permutazioni rispondono a "quante disposizioni ordinate esistono?" quando l'ordine conta — come i possibili podi di una gara. I risultati si aggiornano mentre digiti.
Combinazioni (nCr)
Permutazioni (nPr)
Fattoriale di n (n!)
Le combinazioni contano gruppi senza considerare l'ordine; le permutazioni distinguono l'ordine. Con n maggiore di 170 il fattoriale supera l'intervallo numerico e viene mostrato come infinito.
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Come funziona
Il numero di combinazioni di r elementi tra n è nCr = n! / (r!·(n−r)!): si divide per r! proprio perché riordinare gli elementi scelti non crea un nuovo gruppo. Il numero di permutazioni è nPr = n! / (n−r)!: l'ordine conta, quindi ogni disposizione distinta è contata separatamente, ed è per questo che nPr è sempre almeno grande quanto nCr (sono legate da nPr = nCr·r!). Entrambe si basano sul fattoriale, n! = n·(n−1)·(n−2)·…·2·1, il numero di modi di ordinare n elementi distinti in fila, con 0! definito come 1. Questo strumento calcola nCr e nPr con un ciclo moltiplicativo che evita l'overflow sugli enormi fattoriali intermedi, restando così preciso per n grande anche quando n! è troppo grande da mostrare.
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Preguntas frecuentes
- Qual è la differenza tra una combinazione e una permutazione?
- Una combinazione è una selezione in cui l'ordine non conta, mentre una permutazione è una disposizione in cui l'ordine conta. Scegliere 3 frutti su 5 da mettere in una ciotola è una combinazione; decidere quale va primo, secondo e terzo è una permutazione. Per gli stessi n e r ci sono sempre almeno tante permutazioni quante combinazioni, poiché ogni combinazione può essere riordinata in r! modi.
- Come si calcola nCr?
- Si usa la formula nCr = n! / (r!·(n−r)!). Ad esempio, scegliere 2 su 4 dà 4! / (2!·2!) = 24 / (2·2) = 6. In pratica questa calcolatrice usa un ciclo moltiplicativo invece di calcolare i fattoriali completi, restando così precisa e veloce anche per valori grandi di n.
- Come si calcola nPr?
- Si usa la formula nPr = n! / (n−r)!, che equivale a n·(n−1)·…·(n−r+1). Ad esempio, disporre 2 su 4 dà 4! / 2! = 24 / 2 = 12. Si ottiene anche dalle combinazioni: nPr = nCr·r!.
- Che cos'è un fattoriale?
- Il fattoriale di un numero intero n, scritto n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi fino a n: n! = n·(n−1)·…·2·1. Così, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Per convenzione 0! = 1. I fattoriali crescono molto in fretta, per questo questa calcolatrice mostra n! come infinito quando n supera 170 — oltre quel punto il valore è troppo grande per i numeri standard.
- Cosa succede se r è maggiore di n?
- Se r è maggiore di n non ci sono selezioni né disposizioni valide, quindi sia nCr sia nPr sono 0 — non puoi scegliere più elementi di quanti ne esistano. La calcolatrice tratta anche i valori negativi di r come 0. Quando r è 0, c'è esattamente una combinazione (la selezione vuota) e una permutazione.