Calculadora de Logaritmo
Esta calculadora de logaritmo obtém o logaritmo de qualquer número positivo x na base que você escolher e, ao mesmo tempo, mostra os dois casos especiais mais usados: o logaritmo natural (ln, base e ≈ 2,71828) e o logaritmo decimal ou comum (log₁₀). Basta digitar o número e a base — o resultado é atualizado na hora, então serve para álgebra, cálculo, química (pH), acústica (decibéis), teoria da informação e qualquer situação em que você precise desfazer um expoente.
Logaritmo log_b(x)
Logaritmo natural (ln)
Logaritmo decimal (log₁₀)
Logaritmo log_b(x)
Os resultados são arredondados para 6 casas decimais. log_b(x) = ln(x)/ln(b).
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Como funciona
O logaritmo log_b(x) responde à pergunta: a que potência é preciso elevar a base b para obter x? Por exemplo log₂(8) = 3 porque 2³ = 8. A maioria das calculadoras só traz dois logaritmos — o logaritmo natural ln(x) na base e e o logaritmo decimal log₁₀(x) na base 10 —, então qualquer outra base é calculada com a fórmula de mudança de base log_b(x) = ln(x) / ln(b) (você também pode usar log₁₀ em vez de ln da mesma forma). O logaritmo só é definido para x > 0, e a base deve ser positiva e diferente de 1, já que uma base 1 daria o mesmo valor para qualquer expoente.
Tabela de logaritmos comuns
Vale a pena reconhecer estes valores de cor, porque são a base para estimar qualquer outro logaritmo. Em cada linha, o resultado é o expoente ao qual é preciso elevar a base para obter o número:
| Logaritmo | Resultado | Porque |
|---|---|---|
| log₁₀(1) | 0 | 10⁰ = 1 |
| log₁₀(10) | 1 | 10¹ = 10 |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
| log₁₀(1000) | 3 | 10³ = 1000 |
| ln(e) | 1 | e¹ = e |
| log₂(2) | 1 | 2¹ = 2 |
| log₂(8) | 3 | 2³ = 8 |
| log₂(1024) | 10 | 2¹⁰ = 1024 |
Propriedades do logaritmo e mudança de base
Os logaritmos transformam produtos em somas, o que simplifica muitos cálculos. As três regras principais são: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b e log(aⁿ) = n·log a. Por exemplo, log₁₀(100) = log₁₀(10·10) = log₁₀ 10 + log₁₀ 10 = 1 + 1 = 2. E para qualquer base que a sua calculadora não ofereça, use a mudança de base log_b(x) = ln(x) / ln(b); assim, log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928.
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Preguntas frecuentes
- O que é um logaritmo?
- Um logaritmo é o inverso de um expoente. O logaritmo log_b(x) é a potência à qual é preciso elevar a base b para obter x. Por exemplo, log₁₀(1000) = 3 porque 10³ = 1000, e log₂(8) = 3 porque 2³ = 8. Em resumo, os logaritmos transformam a multiplicação em soma e desfazem a potenciação.
- O que é o logaritmo natural (ln)?
- O logaritmo natural ln(x) é o logaritmo na base e, onde e ≈ 2,71828 é o número de Euler. Aparece em todo o cálculo, no crescimento e decaimento exponencial, nos juros compostos e na probabilidade, porque a função eˣ é a sua própria derivada. Por exemplo, ln(e) = 1 e ln(1) = 0.
- O que é o logaritmo decimal (log₁₀)?
- O logaritmo decimal ou comum log₁₀(x) usa base 10. É prático porque nosso sistema numérico é de base 10: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(1000) = 3. É muito usado em ciência e engenharia, por exemplo na escala de pH, na escala Richter e nos decibéis.
- Como calculo um logaritmo em qualquer base?
- Use a fórmula de mudança de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Você pode substituir ln por log₁₀ e o resultado é o mesmo, já que log_b(x) = log₁₀(x) / log₁₀(b). Por exemplo, log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 3,321928. Esta calculadora aplica exatamente essa fórmula.
- Por que x deve ser positivo e a base diferente de 1?
- O logaritmo só é definido para x > 0, porque uma base positiva elevada a qualquer potência real sempre dá um número positivo, então não existe expoente que produza zero ou um número negativo. A base também deve ser positiva e não pode ser 1, porque 1 elevado a qualquer potência é sempre 1, o que deixaria o logaritmo indefinido.