Bruchrechner
Dieser Bruchrechner addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert zwei Brüche und zeigt sofort das vollständig gekürzte Ergebnis an. Neben dem gekürzten Bruch erhalten Sie auch den entsprechenden Dezimalwert und, wenn das Ergebnis größer als eins ist, die Darstellung als gemischte Zahl. Geben Sie einfach jeden Zähler und Nenner ein, wählen Sie eine Rechenart, und das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen — ideal für Hausaufgaben, Kochrezepte, Holzarbeiten oder jede alltägliche Rechnung mit Brüchen.
Ergebnis
Der Nenner darf nicht null sein.
Als Dezimalzahl
Gemischte Zahl
Das Ergebnis wird immer vollständig gekürzt angezeigt, indem Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden.
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So funktioniert es
Zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen braucht man einen gemeinsamen Nenner. Dieser Rechner nutzt das Über-Kreuz-Multiplizieren: für a/b ± c/d ist der neue Zähler a·d ± c·b und der neue Nenner b·d. Das Multiplizieren ist einfacher — man multipliziert die Zähler miteinander und die Nenner miteinander: (a·c)/(b·d). Zum Dividieren kehrt man den zweiten Bruch um und multipliziert, was (a·d)/(b·c) ergibt. Anschließend wird das Ergebnis gekürzt: Der Rechner bestimmt mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide dadurch, sodass aus 6/8 der Bruch 3/4 wird. Ein negatives Vorzeichen wird in den Zähler verschoben.
Häufige Brüche als Dezimalzahl und Prozentsatz
Manche Brüche kommen so oft vor, dass es sich lohnt, ihr Dezimal- und Prozentäquivalent auswendig zu kennen. Um einen beliebigen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilt man den Zähler durch den Nenner, und für den Prozentsatz multipliziert man diese Dezimalzahl mit 100. Brüche wie 1/3 und 2/3 ergeben periodische Dezimalzahlen und werden daher gerundet angezeigt. Die Tabelle unten listet die Äquivalente auf, die Ihnen beim Kochen, bei Rabatten, bei Prüfungsnoten und bei alltäglichen Messungen am häufigsten begegnen.
| Bruch | Dezimalzahl | Prozentsatz |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/3 | 0,333… | 33,3 % |
| 2/3 | 0,667… | 66,7 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
Addieren und Subtrahieren mit gemeinsamem Nenner
Um zwei Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie denselben Nenner haben. Nehmen wir 1/4 + 2/3: die kleinste Zahl, in die sowohl 4 als auch 3 aufgehen, ist 12, also schreiben wir jeden Bruch auf 12 um. Ein Viertel wird zu 3/12 (Zähler und Nenner mal 3) und zwei Drittel werden zu 8/12 (mal 4). Nun stimmen die Nenner überein, sodass man einfach die Zähler addiert: 3/12 + 8/12 = 11/12. Da 11 und 12 keinen gemeinsamen Faktor haben, ist das Ergebnis bereits vollständig gekürzt. Das Subtrahieren funktioniert genauso: die Nenner angleichen und dann die Zähler subtrahieren.
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Preguntas frecuentes
- Wie addiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
- Bringen Sie beide Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Am schnellsten geht das mit dem Über-Kreuz-Multiplizieren: für a/b + c/d ist die Summe (a·d + c·b) / (b·d). Zum Beispiel 1/2 + 1/3 = (1·3 + 1·2) / (2·3) = 5/6. Kürzen Sie danach das Ergebnis, wenn möglich. Dieser Rechner führt all diese Schritte automatisch für Sie aus.
- Wie kürze ich einen Bruch?
- Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Bei 8/12 ist der ggT 4, also 8/12 = 2/3. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der einzige gemeinsame Faktor zwischen Zähler und Nenner 1 ist. Der Rechner gibt die Antwort immer in dieser gekürzten Form zurück.
- Wie wandle ich einen Bruch in eine Dezimalzahl um?
- Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. Zum Beispiel 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 und 1/3 = 0,3333… Manche Brüche ergeben exakte Dezimalzahlen, andere sind periodisch. Dieses Werkzeug zeigt den Dezimalwert neben dem Bruch an, zur besseren Übersicht auf sechs Nachkommastellen gerundet.
- Was ist eine gemischte Zahl?
- Eine gemischte Zahl verbindet eine ganze Zahl mit einem echten Bruch, etwa 1 1/2. Sie stellt einen unechten Bruch dar, dessen Zähler größer ist als sein Nenner. Zum Beispiel entspricht 7/4 der Zahl 1 3/4, weil die 4 einmal in die 7 passt und 3 übrig bleiben. Der Rechner zeigt diese Form immer dann, wenn das Ergebnis größer als eins ist.
- Wie multipliziere und dividiere ich Brüche?
- Zum Multiplizieren multiplizieren Sie die Zähler miteinander und die Nenner miteinander: 2/3 × 4/5 = 8/15. Zum Dividieren kehren Sie den zweiten Bruch um und multiplizieren: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Für das Multiplizieren oder Dividieren brauchen Sie keinen gemeinsamen Nenner, nur für das Addieren und Subtrahieren.