ggT und kgV Rechner
Dieser Rechner bestimmt gleichzeitig den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen und aktualisiert sich beim Tippen. Der ggT ist die größte Zahl, die beide Werte ohne Rest teilt, während das kgV die kleinste Zahl ist, die beide Werte teilen. Zusammen sind sie die Grundlage für das Kürzen von Brüchen, das Finden gemeinsamer Nenner und das Lösen vieler zahlentheoretischer und Terminplanungsprobleme.
ggT (größter gemeinsamer Teiler)
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Der ggT wird mit dem euklidischen Algorithmus berechnet und das kgV ergibt sich aus kgV(a,b) = |a·b| / ggT(a,b).
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So funktioniert es
Der größte gemeinsame Teiler wird mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt: Man ersetzt das Paar (a, b) wiederholt durch (b, a mod b), bis die zweite Zahl null wird — die verbleibende erste Zahl ist der ggT. Zum Beispiel für 12 und 18: 18 mod 12 = 6, dann 12 mod 6 = 0, also ist der ggT 6. Sobald man den ggT hat, folgt das kleinste gemeinsame Vielfache direkt aus der Identität kgV(a, b) = |a · b| / ggT(a, b). Für 12 und 18 ergibt das (12 · 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Dieser Weg über die Division ist weit schneller, als von Hand alle Teiler oder Vielfachen aufzulisten.
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Preguntas frecuentes
- Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)?
- Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte ganze Zahl, die beide ohne Rest teilt. Zum Beispiel ist der ggT von 12 und 18 gleich 6, weil 6 sowohl 12 als auch 18 genau teilt und keine größere Zahl das schafft. Er wird auch als größter gemeinsamer Faktor bezeichnet.
- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)?
- Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches beider ist. Zum Beispiel ist das kgV von 12 und 18 gleich 36, weil 36 die erste Zahl ist, die sowohl in der 12er- als auch in der 18er-Reihe vorkommt. Es dient dazu, beim Addieren von Brüchen einen gemeinsamen Nenner zu finden.
- Wie findet der euklidische Algorithmus den ggT?
- Der euklidische Algorithmus ersetzt das Paar (a, b) wiederholt durch (b, a mod b), wobei „a mod b" der Rest der Division von a durch b ist, bis die zweite Zahl null wird. Die verbleibende erste Zahl ist der ggT. Für 48 und 18: 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, also ist der ggT 6.
- Wie hängen ggT und kgV zusammen?
- Für zwei beliebige ganze Zahlen a und b ist das Produkt aus ggT und kgV gleich dem Betrag ihres Produkts: ggT(a, b) × kgV(a, b) = |a · b|. Sobald man also den ggT kennt, erhält man das kgV sofort mit kgV(a, b) = |a · b| / ggT(a, b), genau so arbeitet dieser Rechner.
- Was ist, wenn eine der Zahlen null ist?
- Per Konvention ist der ggT einer Zahl und null die Zahl selbst, also ggT(n, 0) = n. Das kgV hingegen ist als null definiert, sobald eine der Eingaben null ist, weil null das einzige gemeinsame Vielfache von null und jeder anderen Zahl ist. In diesem Fall gibt dieser Rechner 0 als kgV zurück.