Calculadora de Combinaciones y Permutaciones
Esta calculadora determina de cuántas formas podés seleccionar u ordenar elementos de un conjunto. Ingresá el total de elementos (n) y cuántos querés elegir (r), y devuelve al instante el número de combinaciones (nCr), el número de permutaciones (nPr) y el factorial de n (n!). Las combinaciones responden "¿cuántos grupos puedo formar?" cuando el orden no importa — como elegir 6 números de lotería entre 49. Las permutaciones responden "¿cuántos ordenamientos hay?" cuando el orden sí importa — como los posibles podios de una carrera. Los resultados se actualizan mientras escribís.
Combinaciones (nCr)
Permutaciones (nPr)
Factorial de n (n!)
Las combinaciones cuentan grupos sin importar el orden; las permutaciones sí distinguen el orden. Con n mayor a 170 el factorial supera el rango numérico y se muestra como infinito.
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¿Cómo funciona?
El número de combinaciones de r elementos entre n es nCr = n! / (r!·(n−r)!): se divide por r! precisamente porque reordenar los elementos elegidos no crea un grupo nuevo. El número de permutaciones es nPr = n! / (n−r)!: el orden cuenta, así que cada ordenamiento distinto se cuenta por separado, y por eso nPr es siempre al menos tan grande como nCr (se relacionan por nPr = nCr·r!). Ambas se apoyan en el factorial, n! = n·(n−1)·(n−2)·…·2·1, la cantidad de maneras de ordenar n elementos distintos en fila, con 0! definido como 1. Esta herramienta calcula nCr y nPr con un bucle multiplicativo que evita el desborde en los enormes factoriales intermedios, así que se mantiene precisa para n grande incluso cuando n! es demasiado grande para mostrarse.
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Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre una combinación y una permutación?
- Una combinación es una selección donde el orden no importa, mientras que una permutación es un ordenamiento donde el orden sí importa. Elegir 3 frutas de 5 para poner en un bol es una combinación; decidir cuál va primera, segunda y tercera es una permutación. Para los mismos n y r siempre hay al menos tantas permutaciones como combinaciones, ya que cada combinación se puede reordenar de r! maneras.
- ¿Cómo se calcula nCr?
- Se usa la fórmula nCr = n! / (r!·(n−r)!). Por ejemplo, elegir 2 de 4 da 4! / (2!·2!) = 24 / (2·2) = 6. En la práctica esta calculadora usa un bucle multiplicativo en vez de calcular los factoriales completos, así se mantiene precisa y rápida incluso para valores grandes de n.
- ¿Cómo se calcula nPr?
- Se usa la fórmula nPr = n! / (n−r)!, que equivale a n·(n−1)·…·(n−r+1). Por ejemplo, ordenar 2 de 4 da 4! / 2! = 24 / 2 = 12. También se obtiene a partir de las combinaciones: nPr = nCr·r!.
- ¿Qué es un factorial?
- El factorial de un número entero n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos hasta n: n! = n·(n−1)·…·2·1. Así, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Por convención 0! = 1. Los factoriales crecen muy rápido, por eso esta calculadora muestra n! como infinito cuando n supera 170 — más allá de ese punto el valor es demasiado grande para los números estándar.
- ¿Qué pasa si r es mayor que n?
- Si r es mayor que n no hay selecciones ni ordenamientos válidos, así que tanto nCr como nPr son 0 — no podés elegir más elementos de los que existen. La calculadora también trata los valores negativos de r como 0. Cuando r es 0, hay exactamente una combinación (la selección vacía) y una permutación.