Calculadora de Combinações e Permutações
Esta calculadora determina de quantas formas você pode selecionar ou ordenar elementos de um conjunto. Insira o total de elementos (n) e quantos quer escolher (r), e ela devolve na hora o número de combinações (nCr), o número de permutações (nPr) e o fatorial de n (n!). As combinações respondem "quantos grupos posso formar?" quando a ordem não importa — como escolher 6 números de loteria entre 49. As permutações respondem "quantas ordenações existem?" quando a ordem importa — como os possíveis pódios de uma corrida. Os resultados se atualizam enquanto você digita.
Combinações (nCr)
Permutações (nPr)
Fatorial de n (n!)
As combinações contam grupos sem importar a ordem; as permutações distinguem a ordem. Com n maior que 170 o fatorial excede o intervalo numérico e é mostrado como infinito.
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Como funciona
O número de combinações de r elementos entre n é nCr = n! / (r!·(n−r)!): divide-se por r! precisamente porque reordenar os elementos escolhidos não cria um grupo novo. O número de permutações é nPr = n! / (n−r)!: a ordem conta, então cada ordenação distinta é contada separadamente, e por isso nPr é sempre pelo menos tão grande quanto nCr (relacionam-se por nPr = nCr·r!). Ambas se apoiam no fatorial, n! = n·(n−1)·(n−2)·…·2·1, a quantidade de maneiras de ordenar n elementos distintos em fila, com 0! definido como 1. Esta ferramenta calcula nCr e nPr com um laço multiplicativo que evita o estouro nos enormes fatoriais intermediários, mantendo-se precisa para n grande mesmo quando n! é grande demais para ser exibido.
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Preguntas frecuentes
- Qual é a diferença entre uma combinação e uma permutação?
- Uma combinação é uma seleção em que a ordem não importa, enquanto uma permutação é uma ordenação em que a ordem importa. Escolher 3 frutas de 5 para colocar numa tigela é uma combinação; decidir qual vai primeiro, segundo e terceiro é uma permutação. Para os mesmos n e r há sempre pelo menos tantas permutações quanto combinações, já que cada combinação pode ser reordenada de r! maneiras.
- Como se calcula nCr?
- Usa-se a fórmula nCr = n! / (r!·(n−r)!). Por exemplo, escolher 2 de 4 dá 4! / (2!·2!) = 24 / (2·2) = 6. Na prática esta calculadora usa um laço multiplicativo em vez de calcular os fatoriais completos, mantendo-se assim precisa e rápida mesmo para valores grandes de n.
- Como se calcula nPr?
- Usa-se a fórmula nPr = n! / (n−r)!, que equivale a n·(n−1)·…·(n−r+1). Por exemplo, ordenar 2 de 4 dá 4! / 2! = 24 / 2 = 12. Também se obtém a partir das combinações: nPr = nCr·r!.
- O que é um fatorial?
- O fatorial de um número inteiro n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros positivos até n: n! = n·(n−1)·…·2·1. Assim, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Por convenção 0! = 1. Os fatoriais crescem muito depressa, por isso esta calculadora mostra n! como infinito quando n ultrapassa 170 — além desse ponto o valor é grande demais para os números padrão.
- O que acontece se r for maior que n?
- Se r for maior que n não há seleções nem ordenações válidas, então tanto nCr quanto nPr são 0 — você não pode escolher mais elementos do que existem. A calculadora também trata valores negativos de r como 0. Quando r é 0, há exatamente uma combinação (a seleção vazia) e uma permutação.