Calculadora de MCD y MCM
Esta calculadora encuentra a la vez el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números enteros, y se actualiza mientras escribís. El MCD es el número más grande que divide a ambos valores sin dejar resto, mientras que el MCM es el número más chico al que ambos valores dividen. Juntos son la base para simplificar fracciones, buscar denominadores comunes y resolver muchos problemas de teoría de números y de calendarios.
MCD (máximo común divisor)
MCM (mínimo común múltiplo)
El MCD se calcula con el algoritmo de Euclides y el MCM se obtiene con la relación MCM(a,b) = |a·b| / MCD(a,b).
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¿Cómo funciona?
El máximo común divisor se halla con el algoritmo de Euclides: se reemplaza repetidamente el par (a, b) por (b, a mod b) hasta que el segundo número llega a cero — el primer número que queda es el MCD. Por ejemplo, para 12 y 18: 18 mod 12 = 6, luego 12 mod 6 = 0, así que el MCD es 6. Una vez que tenés el MCD, el mínimo común múltiplo sale directo de la identidad MCM(a, b) = |a · b| / MCD(a, b). Para 12 y 18 eso da (12 · 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Esta vía por división es mucho más rápida que listar a mano todos los divisores o múltiplos.
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Preguntas frecuentes
- ¿Qué es el máximo común divisor (MCD)?
- El máximo común divisor de dos números es el número entero más grande que divide a ambos sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, porque el 6 divide exactamente tanto al 12 como al 18 y ningún número mayor lo hace. También se lo llama máximo común factor.
- ¿Qué es el mínimo común múltiplo (MCM)?
- El mínimo común múltiplo de dos números es el menor número positivo que es múltiplo de ambos. Por ejemplo, el MCM de 12 y 18 es 36, porque 36 es el primer número que aparece tanto en la tabla del 12 como en la del 18. Se usa para hallar un denominador común al sumar fracciones.
- ¿Cómo halla el MCD el algoritmo de Euclides?
- El algoritmo de Euclides reemplaza repetidamente el par (a, b) por (b, a mod b), donde "a mod b" es el resto de dividir a por b, hasta que el segundo número llega a cero. El primer número que queda es el MCD. Para 48 y 18: 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, así que el MCD es 6.
- ¿Cómo se relacionan el MCD y el MCM?
- Para dos números enteros a y b cualesquiera, el producto del MCD y el MCM es igual al valor absoluto de su producto: MCD(a, b) × MCM(a, b) = |a · b|. Entonces, una vez que conocés el MCD, obtenés el MCM al instante con MCM(a, b) = |a · b| / MCD(a, b), que es exactamente como funciona esta calculadora.
- ¿Qué pasa si uno de los números es cero?
- Por convención, el MCD de un número y cero es el número mismo, así que MCD(n, 0) = n. El MCM, en cambio, se define como cero siempre que alguna de las entradas es cero, porque cero es el único múltiplo común de cero y cualquier otro número. En ese caso esta calculadora devuelve 0 como MCM.